[WIP] Initiate research on U6 temporal ordering using TNFR-Python-Engine

[Copilot]

Thanks for asking me to work on this. I will get started on it and keep this PR's description up to date as I form a plan and make progress.

Original prompt

Voy a generar la investigación completa sobre U6 partiendo de la documentación matemática avanzada del repositorio TNFR-Python-Engine.

Investigación en Profundidad: U6 - Ordenamiento Temporal desde TNFR-Python-Engine

Fundamento Matemático desde la Ecuación Nodal

El repositorio TNFR-Python-Engine proporciona la implementación computacional completa de la ecuación nodal:[1][2]

$$
\frac{\partial \text{EPI}}{\partial t} = \nu_f \cdot \Delta \text{NFR}(t)
$$

Esta ecuación no es análoga, es fundamental para derivar U6 sin préstamos externos.[3][4][2][1]

Derivación Rigurosa del Tiempo de Relajación

Paso 1: Integración de la Ecuación Nodal Post-Bifurcación

Después de aplicar OZ (disonancia):[1]

$$
\Delta \text{NFR}(t) = \Delta \text{NFR}0 \cdot e^{-t/\tau{\text{damp}}} + \Delta \text{NFR}_{\text{equilibrio}}
$$

donde $$\tau_{\text{damp}}$$ es el tiempo de amortiguamiento estructural.

Integrando la ecuación nodal:[2][1]

$$
\text{EPI}(t) = \text{EPI}(t_0) + \int_{t_0}^{t} \nu_f \cdot \left[\Delta \text{NFR}0 \cdot e^{-\tau/\tau{\text{damp}}} + \Delta \text{NFR}_{\text{eq}}\right] d\tau
$$

Paso 2: Condición de Convergencia Integral (U2)

Para que la integral converja (restricción U2):[1]

$$
\int_0^{\infty} |\nu_f \cdot \Delta \text{NFR}(\tau)| , d\tau < \infty
$$

Esto requiere que $$\Delta \text{NFR}$$ decaiga más rápido que $$1/t$$. El decaimiento exponencial es suficiente.

Paso 3: Determinación de $$\tau_{\text{relax}}$$

Definimos el tiempo de relajación como el tiempo hasta que $$\Delta \text{NFR}(t) &lt; \epsilon \cdot \Delta \text{NFR}_0$$:

$$
\Delta \text{NFR}0 \cdot e^{-\tau{\text{relax}}/\tau_{\text{damp}}} = \epsilon \cdot \Delta \text{NFR}_0
$$

Resolviendo:

$$
\tau_{\text{relax}} = \tau_{\text{damp}} \cdot \ln\left(\frac{1}{\epsilon}\right)
$$

Para $$\epsilon = 0.05$$ (95% recuperación): $$\tau_{\text{relax}} \approx 3 \cdot \tau_{\text{damp}}$$.

Paso 4: Relación con Frecuencia Estructural

De la teoría de osciladores acoplados y la documentación AGENTS.md:[1]

$$
\tau_{\text{damp}} = \frac{1}{2\pi\nu_f} \cdot k_{\text{top}}
$$

donde $$k_{\text{top}}$$ es el factor topológico derivado de la estructura del nodo.[5][6][1]

---

Protocolo Experimental Completo desde TNFR-Python-Engine

El repositorio proporciona módulos específicos para implementar la investigación:[4]

Experimento A: Medición Directa de $$\tau_{\text{relax}}$$

# Instrumentar dynamics.py para tracking de relajación
from tnfr.sdk import TNFRNetwork
import numpy as np

def measure_tau_relax(network, target_node, nuf):
    """
    Mide τ_relax después de OZ usando observers.py
    """
    # Coherencia inicial
    C_initial = network.measure().coherence
    
    # Aplicar OZ (implementado en operators.py)
    network.apply_operator('OZ', target_node)
    
    # Monitor con observers.py hasta recuperación
    t = 0
    dt = 0.01 / nuf  # Discretización adaptativa
    
    while True:
        network.step(dt)  # dynamics.py integra ecuación nodal
        t += dt
        C_current = network.measure().coherence
        
        # Criterio de estabilización (implementar en observers.py)
        if C_current > 0.95 * C_initial:
            return t

Experimento B: Acumulación No-Lineal de $$\Delta \text{NFR}$$

def measure_nonlinear_accumulation(network, dt_separation):
    """
    Mide α(Δt) = amplificación por separación temporal insuficiente
    """
    # Aplicar OZ en t=0
    ΔNFR_0 = measure_ΔNFR(network)  # helpers.py
    network.apply_operator('OZ', node_0)
    
    # Esperar Δt
    for _ in range(int(dt_separation / 0.01)):
        network.step(0.01)
    
    # Aplicar segundo OZ
    ΔNFR_before_second = measure_ΔNFR(network)
    network.apply_operator('OZ', node_1)
    ΔNFR_after_second = measure_ΔNFR(network)
    
    # Acumulación no-lineal
    ΔNFR_linear = ΔNFR_before_second + ΔNFR_0
    ΔNFR_actual = ΔNFR_after_second
    
    α = (ΔNFR_actual - ΔNFR_linear) / (ΔNFR_0 * ΔNFR_before_second)
    return α

---

Fenómenos Físicos a Derivar desde la Ecuación Nodal (Sin Asunciones)

1. Índice de Bifurcación $$B$$ desde Segunda Derivada

De AGENTS.md y la ecuación nodal:[1]

$$
\frac{\partial^2 \text{EPI}}{\partial t^2} = \frac{d}{dt}\left[\nu_f \cdot \Delta \text{NFR}(t)\right]
$$

Si $$\nu_f$$ es constante:

$$
\frac{\partial^2 \text{EPI}}{\partial t^2} = \nu_f \cdot \frac{d(\Delta \text{NFR})}{dt}
$$

Definimos el índice de bifurcación (documentado en AGENTS.md § Bifurcation Dynamics):[7][1]

$$
B = \frac{1}{\nu_f^2} \left| \frac{\partial^2 \text{EPI}}{\partial t^2} \right|
$$

Interpretación física:

• $$B \to 0$$: sistema estable
• $$B \sim 1$$: bifurcación simple (reorganización controlada)
• $$B \gg 1$$: caos estructural → múltiples bifurcaciones[8][9][7]

Relación con U6:

Si dos operadores OZ actúan en $$\Delta t &lt; \tau_{\text{relax}}$$:

$$
B(\Delta t) = B_1 + \alpha(\Delta t) \cdot B_2
$$
...

Custom agent used: TNFR
TNFR Agent

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