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add Monge checker

Author: hitonanode

other_algorithms/monge_checker.hpp

@@ -0,0 +1,47 @@
+#pragma once
+
+#include <sstream>
+#include <string>
+
+// Check whether cost(i, j) is Monge or not
+// Complexity: O(nm)
+// https://hackmd.io/@tatyam-prime/monge1
+template <bool only_upper = false>
+std::string check_matrix_monge(auto cost, auto inf, int n, int m) {
+    if (m < 0) m = n;
+
+    auto Detect = [n, m, inf](auto f) -> std::tuple<bool, int, int> {
+        for (int i = 0; i + 1 < n; ++i) {
+            for (int j = only_upper ? (i + 2) : 0; j + 1 < m; ++j) {
+                const auto f00 = f(i, j), f01 = f(i, j + 1), f10 = f(i + 1, j),
+                           f11 = f(i + 1, j + 1);
+                if (f00 >= inf or f01 >= inf) continue;
+                if (f00 + f11 > f10 + f01) { return {false, i, j}; }
+            }
+        }
+        return {true, -1, -1};
+    };
+
+    if (auto [is_monge, i, j] = Detect(cost); is_monge) {
+        return "Monge OK";
+    } else if (auto [is_anti_monge, ai, aj] = Detect([&cost, inf](int i, int j) {
+                   auto ret = cost(i, j);
+                   return ret == inf ? inf : -ret;
+               });
+               is_anti_monge) {
+        return "Not Monge, but Anti-Monge OK";
+    } else {
+        std::stringstream ret;
+        ret << "Not Monge!\n";
+        ret << "    j=" << std::to_string(j) << "   j=" << std::to_string(j + 1) << "\n";
+        ret << "i=" << std::to_string(i) << " " << cost(i, j) << " " << cost(i, j + 1) << "\n";
+        ret << "i=" << std::to_string(i + 1) << " " << cost(i + 1, j) << " " << cost(i + 1, j + 1);
+        return ret.str();
+    }
+}
+
+// Check whether graph weight is Monge or not
+// Complexity: O(n^2)
+std::string check_dag_monge(auto cost, auto inf, int n) {
+    return check_matrix_monge<true>(cost, inf, n, n);
+}

other_algorithms/monge_checker.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+---
+title: Monge checker
+documentation_of: ./monge_checker.hpp
+---
+
+与えられた一般の $n \times m$ 行列や $n$ 頂点 DAG の重み行列の Monge 性および Anti-Monge 性を確認し，以下の結果を出力する．
+
+- Monge であった場合， `Monge OK` と出力
+- Monge ではないが anti-Monge であった場合， `Not Monge, but Anti-Monge OK` と出力
+- Monge でも anti-Monge でもない場合， `Not Monge!` と出力し，続けて Monge 性に反する $2 \times 2$ 小行列を出力
+
+計算量は $O(nm)$ や $O(n^2)$ なので，ジャッジへの提出にこの関数の実行を含めると TLE となりうるので注意．
+
+## 使用方法
+
+行列を `std::vector<std::vector<long long>>` 等の形で直接与えるのではなく， `int` 2 つを引数として重みを返す関数 `cost(int, int)` を引数として与えればよい．
+
+### $n$ 頂点 DAG の辺重み関数の Monge 性判定
+
+```cpp
+int n;  // 頂点: 0, 1, ..., (n - 1)
+using T = long long;
+T INF;
+auto cost = [&](int i, int j) -> T {
+    // Return weight of directed edge i->j, or INF if the edge does not exist.
+};
+
+cerr << check_dag_monge(cost, INF, n) << endl;
+```
+
+## Monge 性の確認方法
+
+隣接する 2 行と 2 列の要素からなる全ての $2 \times 2$ 小行列に対する Monge 性を確認すればよい [1]．
+
+## Links
+
+- [1] [[Monge まとめ①] Monge 性とは？ - HackMD](https://hackmd.io/@tatyam-prime/monge1)

other_algorithms/monge_shortest_path.md

@@ -40,6 +40,7 @@ Cost ret = monge_shortest_path_with_specified_edges(n, l, r, max_weight, f);
 - [AtCoder Beginner Contest 218 H - Red and Blue Lamps](https://atcoder.jp/contests/abc218/tasks/abc218_h)
 - [東京海上日動プログラミングコンテスト2024（AtCoder Beginner Contest 355） G - Baseball](https://atcoder.jp/contests/abc355/tasks/abc355_g)
 - [東北大学プログラミングコンテスト 2022 K - Lebesgue Integral](https://atcoder.jp/contests/tupc2022/tasks/tupc2022_k)
+- [Educational Codeforces Round 181 (Rated for Div. 2) F. Timofey and Docker](https://codeforces.com/contest/2125/problem/F)
 
 ## Links